泰勒級數（Taylor series）

泰勒級數把一個函數重建為一個無窮多項式，只用你在某一個點處關於這個函數所知道的資訊：它在那裡的值、斜率、斜率如何彎曲，等等。想象你站在曲線上的某一點，僅憑腳下能測到的高度、傾斜以及各階彎曲程度，就把整條曲線重新搭出來。

以點 a 為中心，f 的泰勒級數是 f(a) + f'(a)*(x - a) + f''(a)/2!*(x - a)^2 + f'''(a)/3!*(x - a)^3 + ...，每一項多用一階導數。分母上的階乘把高次項壓住。當中心取 a = 0 時它有專門的名字，叫麥克勞林級數。著名的幾個是 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...，sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...，以及 cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...。

泰勒級數是微積分把雜亂函數變得可計算的途徑，也是它為近似法提供依據的方式：在前幾項之後把級數截斷，就得到一個在中心附近緊貼函數的多項式。但有兩點誠實的提醒——級數只在它收斂之處等於函數，而且少數反常的函數，其泰勒級數會收斂到錯誤的東西，所以等號必須驗證，而不能想當然。