冪級數（power series）

冪級數就像一個沒有盡頭的多項式：它不在 x^2 或 x^3 處停下，而是永遠繼續，用越來越高次的 x 的冪，每一項配上自己的係數。你可以把它想成一份配方，用無窮多個簡單的多項式零件、一層疊一層地搭出一個函數。

它的形式是 sum c_n*x^n = c_0 + c_1*x + c_2*x^2 + c_3*x^3 + ...，其中 c_n 是固定的數。對給定的 x，這不過是一列數構成的無窮級數，於是我們要問它是否收斂。通常它在距中心某個距離 R 之內的所有 x 處收斂、在此之外發散；R 稱為收斂半徑。所以冪級數在一個區間上（常常是 (-R, R)）定義了一個函數，端點需要單獨檢驗。

冪級數之所以重要，是因為在它的收斂區間內，它的表現幾乎和多項式一樣——可以逐項求導和積分——卻能表示遠為豐富的函數。這正是計算器和電腦能算出 e^x 或 sin(x) 之類的原因：它們把一個冪級數的前若干項相加，加到所需的精度為止。