幾何級數（geometric series）

幾何級數把這樣一列數加起來：每個數都是前一個數乘上同一個固定倍率。先取某個量，然後不斷取你手頭量的同一個比例：皮球每次彈起都達到上一次高度的同一百分比，或藥物每隔幾小時在體內減半。如果這個倍率讓各項縮小，累加總和就會停在一個有限的值。

它的形式是 a + a*r + a*r^2 + a*r^3 + ...，其中 a 是首項，r 是公比。當 |r| < 1 時級數收斂，並有乾淨的閉式和：a + a*r + a*r^2 + ... = a/(1 - r)。當 |r| >= 1 時各項不向 0 縮小，級數發散。部分和公式 a*(1 - r^n)/(1 - r) 把這一點說得很透：當 n -> infinity 時，恰好在 |r| < 1 的情形下 r^n -> 0。

幾何級數是無窮和收斂於有限值的最乾淨的例子，也是許多結論背後的主力。循環小數 0.999... 就是幾何級數 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...，它的和恰好是 1——這正是為什麼 0.999... 與 1 是同一個數，而不僅僅是很接近。