無窮級數（infinite series）

無窮級數，就是你試圖把無窮多個數一個接一個、永遠加下去時所得到的東西。聽起來根本加不完，但有時這個累加的總和會越來越靠近一個固定的數。先走到牆的一半，再走剩下一半的一半，再走一半——你永遠不會一步走到，但你走過的這些距離加起來正好是整段路。

寫出來，級數就是 sum a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...，由一列項 a_n 構成。要給它賦值，我們看部分和：S_1 = a_1，S_2 = a_1 + a_2，S_3 = a_1 + a_2 + a_3，依此類推。這些部分和自己組成一個數列。如果當 n -> infinity 時 S_n 趨向某個有限極限 S，就說級數收斂，其和為 S。所以無窮和的值是被定義為它的部分和的極限，而不是真的一直加下去。

把無窮多個正數加起來仍可能得到有限的總和，這常讓人吃驚。半距離級數 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 恰好加到 1。但它也可能失敗：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 即使各項縮向 0，總和卻無限增大，所以收斂性永遠要去檢驗，絕不能想當然。