收斂與發散（convergence and divergence）

收斂與發散是無窮和的兩種命運。如果一個級數的累加總和最終安定於某個確定的有限數——再往下加已經無關緊要，總和鎖定到一個答案——就說它收斂。如果總和始終不安定：要麼衝向無窮，要麼來回擺動、永遠挑不出一個落腳點——就說它發散。

精確地說，級數 sum a_n 收斂，是指它的部分和數列 S_n = a_1 + ... + a_n 趨向一個有限極限；否則就發散。有幾個快捷的判別法。第 n 項判別法說：如果 a_n 不趨向 0，級數必定發散。比較判別法把你的級數逐項與一個你已經了解的級數對比。比值判別法考察長期的項比 |a_(n+1)/a_n|：若該極限小於 1 級數收斂，大於 1 發散，恰好等於 1 則無法判定。

第 n 項判別法裡藏著一個關鍵提醒：它只朝一個方向有效。各項縮向 0 是收斂的必要條件，卻不是充分條件。調和級數 1 + 1/2 + 1/3 + ... 的各項趨向 0 卻發散，而 1 + 1/4 + 1/9 + ...（平方的倒數）各項同樣趨向 0 卻收斂。僅憑各項趨零，永遠不足以下結論。