極限的 epsilon-delta 定義

說 f(x)「趨近」L 很符合直覺，但一個愛較真的人可能會問：到底多近？而且多近才算夠近？極限的 epsilon-delta 定義用兩位玩家之間的挑戰遊戲來回答。挑戰者在 L 周圍指定一個極小的目標容差——叫它 epsilon——並要你把 f(x) 落進這個容差裡。你的回應方式是在 a 周圍找到一個極小的區域——叫它 delta——使得你這個區域裡的每一個輸入都落進挑戰者的目標裡。如果不管挑戰多麼苛刻你總能應對，那麼極限就真的是 L。

用符號寫：lim x->a f(x) = L 的意思是，對每一個 epsilon > 0，都存在一個 delta > 0，使得只要 0 < |x - a| < delta，就有 |f(x) - L| < epsilon。逐塊拆開看：|f(x) - L| < epsilon 說的是「輸出落在 L 的 epsilon 範圍內」；0 < |x - a| < delta 說的是「輸入落在 a 的 delta 範圍內，但不等於 a」——正是那個小小的 0 < 讓我們得以忽略 a 這一點本身。次序很要緊：先有 epsilon（要求），然後你才拿出 delta（你的回應，且允許依賴於 epsilon）。

正是這個定義在十九世紀讓微積分立足於堅實的基礎之上，用真正可以證明的東西取代了關於「無窮小」量的含糊說法。你不會用這種方式去算日常的極限——那靠代數和極限運算法則就夠了。它真正的職責是把「趨近」精確到足以讓定理無需含糊其辭地被證明。而連續性，不過就是把這同一個定義裡的 L 換成 f(a)。