無窮小（infinitesimal）

無窮小是這樣一種直覺：一個量要多小有多小，卻又不真的等於零——比你能說出的任何普通正數都小，但仍以某種方式存在著。早期微積分正是靠這幅圖景運轉的：曲線由無窮多段無窮短的直線拼成，面積是無窮多片無窮薄切片的堆疊。dy/dx 和積分式中的 dx，就是這一想法留下的化石。

牛頓與萊布尼茨在 1600 年代末用這種「小到幾乎消失」的量發明了微積分，方法效果驚人。但它立足於搖晃的邏輯：在同一次計算裡，無窮小一會兒要表現得像非零數（好讓你能除以它），一會兒又要像零（好讓你能把它丟棄）。批評者——最著名的是貝克萊主教——譏諷這些是「逝去之量的幽靈」。最終的嚴格修補由柯西與魏爾斯特拉斯在 1800 年代完成，他們用極限取代了無窮小：你不再研究一個真正無窮小的數，而是研究當一個量收縮趨向零時它逼近什麼。

所以在標準的現代微積分裡，實數軸上並不存在「無窮小數」——它是一種被極限精確化的引導性直覺，而不是一個可以用來運算的對象。不過為了誠實，得補一條註腳：1960 年代亞伯拉罕·魯濱遜建立了非標準分析，那是一套確實包含真正無窮小的嚴格體系。它在邏輯上是站得住腳的，但屬於專門領域；以極限為基礎的進路，仍是幾乎處處教授和使用的標準根基。