微分方程（differential equation）

普通方程問的是「什麼數能讓它成立？」微分方程問的則更深一層：「什麼函數會這樣變化？」假設你知道一個族群越大、增長得越快——它在任一時刻的增長率，等於某個常數乘以它當前的規模。別人沒有把族群本身交給你，交給你的是它如何變化的一條規則。微分方程陳述的正是這樣一條規則，而解它，就意味著找出服從這條規則的那個函數。

具體來說，微分方程把一個函數和它自己的導數聯繫起來。一個經典例子是 dy/dt = k y，意思是 y 的變化率與 y 本身成正比。它的解是指數函數 y = C e^(kt)，其中 C 由某個初始條件確定，比如起始值 y(0)。這裡的未知量不是一個數，而是一整個函數；在額外條件把它釘死之前，通常存在一族解。

微分方程是描述變化的母語，它刻畫的世界範圍極廣：冷卻的咖啡、放射性衰變、振動的橋樑、蔓延的疫情、電路、行星軌道，乃至金融中的選擇權定價。大多數現實中的微分方程都無法用一個漂亮的公式解出，因此許多科學與工程領域都依賴用電腦對它們的解作數值逼近。