偏導數（partial derivative）

想像你站在一座小山上，山的高度取決於兩件事：你往東走了多遠，往北走了多遠。先問一個更窄的問題：如果我朝正東方向邁一步，而完全不往北移動，地面上升得有多陡？這個單一方向上的斜率就是偏導數。你把除了一個變數以外的所有變數都凍結住，只測量這一個方向上的變化率。

對於含多個輸入的函數 f(x, y)，關於 x 的偏導數記作 ∂f/∂x。計算方式和普通導數完全一樣，只是把其餘每個變數都當成固定的常數。例如，若 f(x, y) = x^2 y + y^3，則 ∂f/∂x = 2xy（把 y 看作一個數），而 ∂f/∂y = x^2 + 3y^2（把 x 看作一個數）。彎曲的符號 ∂ 讀作「偏」，提示我們其餘變數正被按住不動。

一個常見的誤解：偏導數只告訴你沿某一選定座標軸方向的斜率，而不是整體最陡的斜率。在真實曲面上，地面沿某個斜方向爬升的速度，可能遠快於沿任一座標軸的速度。要刻畫各個方向上的斜率，就要把各偏導數組合成梯度；單獨一個像 ∂f/∂x 這樣的數，本身永遠說不清全貌。