鏈式法則（chain rule）

想像兩個相互嚙合的齒輪。如果大齒輪轉得是小齒輪的兩倍快，而小齒輪又是你手裡曲柄的三倍快，那麼轉動曲柄就讓大齒輪以 2 乘 3 = 6 倍於你手速的速度旋轉。變化率沿著一條鏈相乘。鏈式法則正是這個想法，用在彼此銜接、互相餵入的函數上。

當一個函數由複合搭成時——把 f 作用在 g(x) 上，寫作 f(g(x))——鏈式法則說：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)。用話說就是：先對外層函數求導（內部原封不動），再乘以內部的導數。用萊布尼茨記號寫出來格外漂亮：dy/dx = (dy/du)(du/dx)，彷彿那兩個 du 約掉了一樣。例如，給 (3x^2 + 1)^5 求導：外層是 (某式)^5，導數為 5(某式)^4，而內層 3x^2 + 1 的導數是 6x，於是答案是 5(3x^2 + 1)^4 * 6x。

鏈式法則是讓其他法則得以大顯身手的主力，因為實際中你求導的幾乎一切，暗地裡都是複合函數。經典的失誤是忘了「乘以內部的導數」這一項——把 sin(2x) 的導數寫成 cos(2x)，而正確的應是 cos(2x) * 2。只要有一個函數嵌在另一個裡面，那個內部的導數就必須一路跟上。