乘積法則（product rule）

假設有兩樣東西同時在變大——比方說一個長方形，它的寬和高都隨著時間在拉伸。它的面積增長得有多快？你也許會猜：把兩個增長率相乘就好。但那漏掉了答案的大半。乘積法則才是兩個函數之乘積的變化率的正確配方，而長方形這幅圖恰好說明了為什麼那個天真的猜法行不通。

法則是 (fg)' = f'g + fg'。用話說就是：乘積的導數等於（第一個的導數乘以第二個）加上（第一個乘以第二個的導數）。對於寬為 f、高為 g 的長方形，當兩條邊都向外微微一推時，新增的面積分成兩條——一條來自寬的增長（以速率 f' 跨過整個高度 g），一條來自高的增長（以速率 g' 跨過整個寬度 f）。把這兩條相加，就得到 f'g + fg'。

要避免的錯誤是寫成 (fg)' = f'g'——這乾脆就是錯的。用一個小測試就能看出：設 f(x) = x、g(x) = x，於是 fg = x^2。乘積法則給出 (x^2)' = 1*x + x*1 = 2x，這是對的。而那條假法則 f'g' 會給出 1*1 = 1，這並不是 x^2 的導數。那兩條面積是真實存在的，你不能丟掉其中一條。