多重積分（multiple integral）

單重積分把曲線下一條條細窄的長條加起來，得到面積。多重積分在更高維度裡玩同樣的把戲。想像一頂凹凸不平的帳篷支在一塊矩形場地上：要算出帳篷下封住的空氣體積，你把場地切成一個個瓷磚大小的小方塊，用每塊的面積乘以它正上方帳篷的高度，再把這些小盒子全加起來。這個總和就是二重積分——在一片區域上、而非沿一條線上的累積。

對於區域 R 上的函數 f(x, y)，二重積分寫作 ∫∫_R f(x, y) dA，它的嚴格定義與單重積分一樣：當小方塊縮向零時黎曼和的極限。實際計算時，通常把它當作累次積分來求，一次只對一個變數積分：∫ 從 c 到 d ( ∫ 從 a 到 b f(x, y) dx ) dy。三重積分 ∫∫∫ f dV 把這一套推廣到三維實心區域。

多重積分是我們累加任何遍佈於空間中的量的方式：曲面下的體積、由密度求出的物體質量、某區域內的總電荷、某片面積上的平均值，或者質心。積分次序可以互換（對性狀良好的函數，由富比尼定理保證），而巧妙地選擇次序——或改用極座標、球座標——常能把一個看似無從下手的積分變成例行公事。