黎曼和（Riemann sum）

黎曼和是你在還不知道任何巧妙捷徑之前，測量曲線下方面積的辦法：你用一排細長的矩形鋪滿那塊區域，算出每個矩形的面積（不過就是寬乘高），再把它們加起來。曲線是彎的，矩形永遠貼不嚴——但你切得越細，剩下那點誤差的邊角料就越無關緊要。這跟在地圖上鋪一張方格網、數格子來估計湖面面積是同一個直覺。

嚴格地說，要近似函數 f 在從 a 到 b 這段區間上的累積量，你把區間切成 n 個小段，每段寬 dx（常寫作 delta-x），在每一段裡挑一個取樣點 x_i，再作和 f(x_1)dx + f(x_2)dx + ... + f(x_n)dx，記作 sum f(x_i) dx。高度 f(x_i) 可以取在每段的左端（左黎曼和）、右端（右黎曼和）或中點（中點和）——選法不同，但當切片縮小時都收斂到同一個值。

黎曼和是定積分背後的腳手架，而不只是個粗略估計。定積分的定義，正是當切片寬度 dx 趨於 0、切片數量無限增多時這些和的極限。所以當矩形變得無限薄，近似就不再是近似，而成為精確值。要注意 f(x_i) 可以是負的，這時它對應的矩形算作負面積——黎曼和追蹤的是帶符號的淨累積量，而不只是幾何面積。