微積分基本定理（fundamental theorem of calculus）

微積分基本定理揭示了一個發現：微積分的兩大運算——求變化率（求導）與求總量（積分）——彼此恰好是逆運算，就像乘法與除法一樣。它說，把無窮多個微小變化加起來，就還原成淨變化；而一個變化率的「累計總和」，自身正以那個變化率在增長。這就是那座橋，它把微積分從兩門分立的學問合併成了一門。

它有兩部分。第一部分：如果你用一個累積的積分來定義函數，A(x) = integral from a to x f(t) dt，那麼它的導數恰好就是被積函數：A'(x) = f(x)。對累計總和求導，又交還了變化率。第二部分（求值部分）：如果 F 是 f 的任意一個原函數，那麼 integral from a to b f(x) dx = F(b) - F(a)。你計算總量的辦法，是撤銷一次求導，再把兩個端點的值相減。

它為何具有革命性：定積分本是定義為黎曼和的極限——一個看上去無法用手算完成的無窮過程。第二部分說，你根本不必去算。與其把無窮多個薄片相加，不如找一個原函數，做一次減法。幾個世紀以來分別對切線和對面積所做的工作，原來是同一台機器的兩個視角；這一統一由牛頓與萊布尼茨在十七世紀末系統化，正是它開啟了現代科學與工程。