原函數（antiderivative）

原函數回答的是一個反過來的問題。導數告訴你一個函數的斜率或變化率；原函數則從變化率出發，反問：「是哪個函數的變化率長這樣？」如果你的速度表在每一刻都顯示某個速度，那麼原函數就是這趟旅程本身——以那些速度行駛後你所處的位置。你是在「撤銷」求導，把機器倒著運轉。

嚴格地說，函數 f 的原函數是一個函數 F，它的導數恰好是 f：也就是在某個區間上，對每個 x 都有 F'(x) = f(x)。例如 F(x) = x^2 是 f(x) = 2x 的一個原函數，因為 x^2 的導數是 2x。同樣地，x^2 + 1、x^2 + 7、x^2 - 100 也都是——加上任何常數都不改變斜率，因為常數的導數是 0。所以一個函數的原函數是一整族，彼此只相差一個常數。

那個多出來的常數並不是麻煩，它老老實實地道出一個事實：單憑變化率無法告訴你從哪裡出發。知道你開得多快，並不能透露你是從哪座城市出發的。我們把這一族寫成 F(x) + C，其中 C 是「積分常數」，只有再給一個額外的事實——一個初始值——才能定下 C。求原函數確實比求導更難：每個初等函數都能按法則求導，但有些函數，比如 e^(-x^2)，根本沒有能用初等函數寫出來的原函數。