曲線間的面積（area between curves）

求兩條曲線之間的面積，是積分頭一回不再是抽象練習、而開始度量真實區域的地方。想像地圖上一條蜿蜒的河與一條公路之間夾著的那條狹長地帶：要算它的面積，你設想把它切成無數細長的豎條，每條的高度就是該處上邊界與下邊界之間的間距。

每條細帶的面積是（上 - 下）乘以它微小的寬度 dx，積分則把它們全加起來：面積 = integral from a to b of (top(x) - bottom(x)) dx，其中 a 與 b 是兩曲線相交之處，或你選擇停下的地方。例如在 y = x 與 y = x^2 之間從 0 到 1，直線 x 位於拋物線 x^2 之上，所以面積是 integral from 0 to 1 of (x - x^2) dx = 1/2 - 1/3 = 1/6。因為你始終用上減下，結果是一塊貨真價實的正面積，哪怕兩條曲線都落到 x 軸下方亦然。

這套「切片再相加」的招法，是通往積分其餘各種應用的門戶。把一塊區域繞軸旋轉，同樣的細條就變成薄圓盤或薄殼，給你旋轉體的體積。把這想法再推廣，你就得到弧長、曲面面積、函數的平均值、變力所做的功，以及質心——它們全都不過是巧妙地選定「每個薄片在積分前貢獻什麼量」而已。