分部積分法（integration by parts）

分部積分法是用來對兩樣毫不相干的東西之乘積求積分的技巧——比如 x 乘 e^x，或 x 乘 sin(x)——這種情形裡換元幫不上忙。你不去硬碰整個乘積，而是把它換成另一個、通常更容易的積分。這是一筆交易：你放棄那個難積分，換來一個簡單的邊界項加上一個更友好、便於收尾的積分。

它就是乘積法則的逆運算。乘積法則說，u*v 的導數是 u'v + uv'；重排並積分後得到公式 integral u dv = uv - integral v du。你把被積函數分成一部分叫 u（你將對它求導）和一部分叫 dv（你將對它積分），再代入公式。對 integral x e^x dx，取 u = x，dv = e^x dx；則 du = dx，v = e^x，於是結果是 x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C。

全部訣竅在於把 u 和 dv 選得好：你希望新的積分 integral v du 比一開始的更簡單。一條常用的經驗法則是 LIATE——按對數、反三角、代數、三角、指數這個次序，優先把排在前面的那個因子選作 u——因為那個因子求導後往往會變簡單。糟糕的選法只會塞給你一個更難的積分，所以如果新積分看上去更糟，就把兩者的選擇對調，再試一次。