橢圓積分（elliptic integral）

試著算橢圓一段弧的精確長度，或大角度擺動的單擺週期，你就會撞上一個在初等函數中根本沒有原函數的積分。這些就是橢圓積分——形如 x 與某個三次或四次多項式平方根的有理函數的積分。這名字來自歷史上第一個這樣的問題：橢圓的弧長。無論你多聰明，它們都做不成對數、指數和三角函數的組合。

數學家沒有放棄；他們給這些積分起了名字並製成表，正如前幾代人對對數和正弦所做的那樣。化為標準形式（勒讓德形式）後，每個橢圓積分都由三個基本的非初等函數搭成：第一類橢圓積分 F、第二類 E 和第三類。比如單擺週期，正好是關於擺幅的第一類完全橢圓積分——一個精確、可計算的答案，只是不是初等公式。把第一類積分反演就得到雅可比橢圓函數，是這個更豐富世界裡貨真價實的週期「三角函數」。

這裡關鍵的誠實，也是把它當作一個有名對象來教的全部要點，是：非初等並不意味著未解、未知或不可計算。橢圓積分被完全理解、能迅速算到任意精度，和正弦一樣具體——它們只是無法用初等函數那個小字母表來表達。把它們當作自身合法的函數來對待，正是應用數學誠實地面對初等積分極限的方式，而不是假裝這積分不存在。