參數方程的積分（integration of parametric functions）

許多曲線最自然的描述不是 y = f(x)，而是用一個參數 t 同時驅動兩個坐標：x = x(t)，y = y(t)。想像一個點隨時間流逝描出擺線或橢圓。要求這種曲線下的面積或它的弧長，你不必先消去 t——而是直接對 t 積分，讓參數替你記錄曲線掃過的快慢。

關鍵是把換元法則用到參數上。參數曲線下的面積是 y dx 的積分，而由於 dx = (dx/dt) dt，它變成在 t 區間上 y(t) 乘以 (dx/dt) dt 的積分。弧長用速率：長度元 ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt，所以總長是該速率對 t 的積分。每種情形下，你只是用鏈式法則把幾何量（寬度 dx、長度 ds）改寫成了用 dt 表達。

參數積分是軌跡、自我環繞或不是單值函數圖像的曲線（圓通不過豎線檢驗）、以及任何以時間而非位置為主變量的運動的天然舞台。標準陷阱是符號與定向：算掃過的面積時，參數運行的方向決定了 (dx/dt) 的符號，所以順時針描與逆時針描可能翻轉符號——這正是格林定理後來精確化的那種定向敏感性。