向量值函數的積分（integration of vector-valued functions）

向量值函數 r(t) 輸出的不是一個數，而是一支箭——比如粒子在時刻 t 的位置，記作 r(t) = (x(t), y(t), z(t))。對它積分是在問：若我知道每一刻的速度箭，位移箭是什麼？令人愉快的答案是，對向量積分並不比逐個對它的分量積分更難；r(t) 的積分就是以 x(t)、y(t)、z(t) 的積分為各分量的那個向量。

這之所以成立，是因為積分是線性運算，而一個向量不過是沿固定坐標方向攜帶的一束數。所以 r(t) dt 從 a 到 b 的積分等於 (x dt 的積分, y dt 的積分, z dt 的積分)。向量形式的微積分基本定理隨之而來：速度 v(t) 從時刻 a 到 b 的定積分給出淨位移 r(b) - r(a)，與一維完全一樣，只是現在是一支箭。不定向量積分帶著一個常向量，由初始條件（如起始位置）確定。

這是運動學和動力學的語言：對加速度積分得速度，對速度積分得位置，每一步都是逐分量積分。唯一真正微妙之處是：逐分量積分只有在固定（笛卡爾）基下才這麼簡單。在極坐標、柱坐標或球坐標裡，基向量本身隨位置改變，所以你不能盲目地對分量積分——必須考慮動標架，這正是尺度因子和曲線坐標機制登場的地方。