向量場（vector field）

看看一張佈滿小箭頭的天氣圖：每一處的箭頭都標示出風往哪個方向吹、吹得多猛。這幅圖景——給空間中每個點都附上一個箭頭——就是向量場。與每點只返回一個數的普通函數不同，向量場返回的是一整個箭頭，既帶方向又帶強弱。流動的水、磁力、引力的牽引、氣流，都天然地用這種方式來描述。

正式地說，向量場給每個點指派一個向量。在二維情形裡，你寫作 F(x, y) = ( P(x, y), Q(x, y) )，兩個分量函數給出該點處箭頭的水平部分和豎直部分；在三維情形裡還有第三個分量。所以一個向量場其實是若干普通函數打包在一起，畫出來便是一片箭頭之場，箭頭的長短和方向隨位置平滑地變化。

向量場是施展向量微積分的舞台。你可以度量一個場沿某條路徑推動的程度（線積分，它給出力所做的功），還可以對一個場取兩種特殊的導數——它的散度和旋度——來追問這個場是在向外鋪開，還是在原地打旋。這些概念支撐起流體力學，以及整個電磁學。