函數（function）

函數是一條規則：你給它一個輸入，它就準準地還給你一個輸出。想像一台自動售貨機：你按下「水」的按鈕，得到的永遠是水，絕不會一會兒出水、一會兒出巧克力。最關鍵的承諾是「恰好一個」——同一個輸入絕不允許產生兩個不同的答案。微積分自始至終研究的，正是當你滑動輸入時，這些輸出值如何變化。

我們通常給函數起個名字，比如 f，把輸入 x 餵進去，寫作 f(x)，讀作「f 在 x 處的值」。規則允許接受的全部輸入構成定義域；它原則上可能落入的全部值構成陪域。所以函數就是從定義域到陪域的一個映射。在圖上有個快速的目測辦法叫豎線檢驗：若有任何一條豎直線與曲線相交不止一次，這張圖就不是函數的圖像，因為那個輸入會對應兩個輸出。

一個常見的誤解是：函數一定得是一條整齊的公式。其實未必：函數可以用表格、圖像、一句話規則（「向下取整到整數美元」）或像 f(x) = x^2 這樣的公式給出。讓它成為函數的，只是「單值」這條規則本身，而不在於規則用什麼方式描述。