標度因子（scale factors）

當你使用曲線坐標——極坐標、柱坐標、球坐標，或任何自定義系統——把一個坐標移動一小步，一般並不會讓你移動同樣多的實際距離。把角度 theta 轉過一步 d-theta，帶你走過的物理距離是 r d-theta，而不是 d-theta。標度因子就是那些換算數，它們告訴你：對每個坐標，該坐標變化一個單位對應多少真實長度。它們是抽象的坐標步長與誠實的長度、面積、體積之間的橋樑。

對一個坐標為 (u1, u2, u3)、位置向量為 r 的正交坐標系，標度因子 h_i 是 r 對 u_i 的偏導數的長度——也就是說，h_i 等於 partial r over partial u_i 的模。於是一個無窮小位移的長度平方，由線元 ds^2 = (h1 du1)^2 + (h2 du2)^2 + (h3 du3)^2 給出。體積元是乘積 dV = h1 h2 h3 du1 du2 du3，這恰好就是用幾何形式寫出的雅可比。對平面極坐標，標度因子是 h_r = 1、h_theta = r。對球坐標，它們是 h_rho = 1、h_phi = rho、h_theta = rho sin(phi)——它們的乘積 rho 乘 rho sin(phi) 又給回熟悉的 rho^2 sin(phi)。

標度因子是一舉處理任何正交坐標系的乾淨而統一的辦法。它們通過一套公式給出曲線坐標下的梯度（每個分量除以它的標度因子）、散度、旋度和拉普拉斯算子，而不必把每個算子從頭重推一遍。這正是數學物理為熱方程、波動方程、拉普拉斯方程所依賴的球坐標與柱坐標拉普拉斯算子背後的機器。要記住的一個限制是：簡單的 ds^2 = (h_i du_i)^2 之和這種形式、以及乘積式體積元，只對正交坐標成立，即坐標方向彼此垂直；一般的（非正交）系統需要帶交叉項的完整度規張量。