柱坐標（cylindrical coordinates）

柱坐標不過是平面裡的極坐標，再把普通的高度 z 疊在上面。空間中一個點標作 (r, theta, z)：r 和 theta 完全像極坐標那樣描述它的影子落在地面上何處，而 z 是它在那地面上方飄多高。任何有對稱軸的東西——管子、罐頭、龍捲風、在缸裡旋轉的流體柱——在柱坐標裡都最舒服，因為物體的軸變成了 z 軸，而圓形的橫截面變成 r 和 theta 的簡單範圍。

換算是 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)，z = z。因為 z 方向原封不動，雅可比恰好就是極坐標那個 r——所以體積元是 dV = r dr d-theta dz。你可以從幾何上讀出它：一個小柱坐標盒子，底面是極坐標面積 r dr d-theta、高是 dz，所以體積是它們的乘積。要在柱坐標裡對一個實體積分，你通常讓 z 在下曲面 z = g(r, theta) 和上曲面 z = h(r, theta) 之間跑，再讓 r 和 theta 掃過實體在平面上的影子——和二維裡同樣的積分區域思路，只是多了那個高度積分先做或後做。

柱坐標是處理圓柱、圓錐、旋轉拋物面、以及任何繞某軸有旋轉對稱問題的常用工具——管內流動、帶電導線的場、飛輪的轉動慣量、棒中的熱傳導。拉普拉斯算子、散度、梯度在這套坐標裡都有工程師常用的標準形式。要保持的一個習慣是：r dr d-theta dz 裡的那個 r，和平面極坐標裡那個容易被忘、卻不可或缺的雅可比因子是同一個——而 theta 仍是循環的，所以要當心 theta = 0 與 theta = 2pi 是同一條射線、別重複計數。