三重積分（triple integral）

三重積分是把二重積分再向上提一個維度：你不再把一個量在平面區域上求和，而是在三維空間裡的一團實體上求和。你無法想像四維圖像下方的體積，所以更乾淨的辦法是直接這樣想：空間中坐著一個實體 E，它的每一點上都有某個密度 f(x, y, z)——單位體積的質量、單位體積的電荷，或者乾脆就是數字 1。f 在 E 上的三重積分，把 f 乘以一小塊體積在整個實體上累加起來，報出這個總和。

其構造與二重積分如出一轍。把 E 切成許多小盒子，每個體積為 delta-V = delta-x 乘 delta-y 乘 delta-z，在每個盒子裡取樣本點算出 f，組成乘積 f delta-V，再相加。當盒子縮小時的極限，記作 f(x, y, z) dV 在 E 上的三重積分，其中直角坐標下的體積元 dV 是 dx dy dz。當 f 為常數 1 時，三重積分就直接給出 E 的體積。和二重積分一樣，你把它當作三個嵌套的普通積分來算，一次剝去一個變量，內層的上下限描述了當你向外移動時實體橫截面如何變化。

三重積分是描述一個實體所承載的一切的自然語言：由可變密度 rho(x, y, z) 算出的總質量、質心、繞某軸的轉動慣量、一個區域內儲存的總引力能或靜電能，或者三個聯合分佈隨機變量的機率質量。在實際問題裡直角坐標的盒子 dx dy dz 很少方便——球、柱、錐都呼喚柱坐標或球坐標，它們的體積元（r dr d-theta dz 與 rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta）吸收了區域的幾何，使上下限變得簡單。