二重積分（double integral）

一重積分量度的是一條曲線在一段區間上方的面積；二重積分把同樣的工作向上提一個維度。設想 xy 平面上平鋪著一個區域 R，上方懸浮著一張曲面 z = f(x, y)。f 在 R 上的二重積分，就是這張曲面與平面之間所夾的有向體積——而若 f 恰為常數 1，答案就只是 R 自身的面積。它回答的問題是：當一個量鋪展在一個二維區域上時，總共有多少？

它的構造方式與一重黎曼積分完全相同，只是把細條換成了小方塊。把 R 切成許多小矩形，每塊面積為 delta-A = delta-x 乘 delta-y，在每塊裡取一個樣本點，用該點的高度 f 乘以方塊的面積，再把所有這些薄盒子 f(x, y) delta-A 加起來。當方塊縮小到零，這個和趨於一個極限，記作 f(x, y) dA 在 R 上的二重積分。符號 dA 是面積元；在普通直角坐標下它就是 dx dy。只要 f 在一個合理區域上連續（比如說），積分就存在。

二重積分是把任意密度在一個平面區域上求總和的辦法：面密度為 rho(x, y) 的金屬板的質量、一個區域上的總電荷、一對隨機變量落入某集合的機率（此時 f 是聯合密度），或者一個溫度場的平均值。實踐中你幾乎從不直接去算和的極限——而是把二重積分化成前後相繼的兩個普通積分（累次積分），富比尼定理為此提供了保證。二重積分的全部手藝，就在於選對區域的描述和正確的順序，好讓這兩個一重積分都能算得出來。