積分區域（region of integration）

每個多重積分都活在某個集合上——二重積分活在平面的一塊上，三重積分活在空間的一團實體上。這個集合就是積分區域。在你能寫下任何一個上下限之前，你必須知道你在其上求和的形狀：一個圓盤、一個三角形、兩條拋物線之間的面積、一個被拋物面蓋住的柱體。多重積分一半的難度根本不在被積函數——而在於把這個區域描述得足夠精確，以釘死上下限。

區域有幾種方便的類型。若一個區域夾在兩條曲線 y = g(x) 與 y = h(x) 之間、橫跨 x 區間 [a, b]，就稱它為 I 型（或豎直簡單型）；這時任一 x 處的豎直線在 g(x) 進入、在 h(x) 離開，給出 dy dx 的內層限。若它夾在 x = p(y) 與 x = q(y) 之間、橫跨一個 y 區間，就是 II 型（水平簡單型）；水平線給出 dx dy 的內層限。許多區域兩種都是，你就挑讓積分更容易的那種。兩種簡單型都不是的區域，被切成幾塊、每塊都是簡單型，積分就是各塊之和。關鍵在於：是區域的幾何——而非被積函數——定下每一個積分限。

正確讀出區域，是大多數設置錯誤誕生之處，也是大多數錯誤能被治好之處。紀律永遠一樣：畫出來，找到邊界曲線和它們的交點，決定次序，然後對內層變量畫一條掃描線、記下它何處進入、何處離開。區域也決定了你是否該換坐標：圓盤或圓環呼喊極坐標，球體呼喊球坐標，柱體呼喊柱坐標——選取與區域對稱性相符的坐標，通常會把醜陋的變量上下限變成純常數。