累次積分（iterated integral）
二重或三重積分被定義為對區域上小方塊的單個極限，但沒人真的去算那個極限。累次積分就是取而代之的實用配方：你對一個變量積分、同時把其餘變量凍住，得到一個關於剩下變量的函數，再對它積分，如此往復——一個接一個的普通一重積分。這就像切片吃麵包一樣：先把每一片橫著積出來，再把各片加起來。
具體地說，一個累次二重積分長成 從 a 到 b 對 [從 g(x) 到 h(x) 對 f(x, y) dy 的積分] dx 的積分。你先做裡面的：把 x 當常數，對 y 從下邊界 g(x) 到上邊界 h(x) 積分 f。結果是某個函數 A(x)——位置 x 處那一片的面積。然後把 A(x) 對 x 從 a 到 b 積分。從裡往外讀微分的順序，就告訴你哪個變量先積；這裡 dy 在裡面，所以 y 先來。三重積分嵌套三個這樣的一重積分。注意內層的限可以是外層變量的函數，但最外層的限必須是純常數，否則答案裡還會留著一個變量。
累次積分正是每個計算機代數系統和每次手算實際所求的；二重積分是含義，累次積分是方法。富比尼定理是那座橋：它保證累次積分等於真正的二重積分，並且兩種可能的累次順序給出同一個數——前提是 f 足夠規矩（例如在區域上連續，或絕對可積）。這個前提不是走過場：在無界區域上，或者對一個變號、非絕對可積的 f，兩種順序可能不一致。
從 0 到 1 對 [從 0 到 x 對 (2y) dy 的積分] dx 的積分。內層：從 0 到 x 對 2y dy 的積分 = x^2。外層：從 0 到 1 對 x^2 dx 的積分 = 1/3。內層上限 x 使這成為在三角形 0 <= y <= x <= 1 上的積分。
可變的內層限把一個非矩形區域——這裡是三角形——編碼進累次積分裡。
累次積分與二重積分在概念上是不同的對象，是富比尼定理使它們在數值上相等。沒有它的前提，二者可能不同，所以別把它們相等當作理所當然。