富比尼定理（Fubini's theorem）
/ Foo-BEE-nee /
富比尼定理是那張許可條，它把一個二重或三重積分——抽象地定義為對小方塊的極限——變成你真能算的東西：一摞前後相繼做的普通一重積分。它說，區域上真正的積分等於累次積分，而且你可以按任一順序對各變量積分、得到同一個數。沒有它，累次積分就只是一個充滿希望、卻不保證與你想要之物相符的配方。
對二重積分的表述：若 f(x, y) 在區域 R 上足夠規矩，則 f dA 在 R 上的二重積分等於 對 x 的 [對 y 的 f dy 的積分] 的積分，也等於 對 y 的 [對 x 的 f dx 的積分] 的積分。關鍵的小字是「規矩」的含義。安全的充分條件（有時稱作托內利那一半）是 f 連續，或更一般地，f 的絕對值的積分有限——即 f 在 R 上絕對可積。在這個條件下順序無關緊要。最乾淨的應用是在矩形上，那裡內外層的限全是常數，兩種順序顯然對稱。
誠實的警告是：絕對可積這個前提是真的、不是裝飾。有經典的反例——單位正方形上的函數，或依賴順序的和——交換積分順序會改變答案，因為正部和負部各自積出無窮，而抵消依賴於順序。所以當你為了讓一個頑固積分變得可算而交換積分順序時（這是個標準而有力的招數），你其實是在暗中援引富比尼，你應當確認它的前提成立，尤其是在無界區域上或被積函數變號時。
在矩形 [0,1] x [0,2] 上，x y dA 的積分 = 從 0 到 1 對 x [從 0 到 2 對 y dy 的積分] dx 的積分 = 從 0 到 1 對 x (2) dx 的積分 = 1，與先 y 後 x 的結果相同。兩種順序一致，因為 x y 連續且有界。
在有界矩形上、被積函數連續時，富比尼保證兩種順序給出相同的值。
富比尼不是無條件的。若 f 不絕對可積（其正部與負部都發散），兩種累次順序可能給出不同答案。安全準則：在有界區域上連續，或 |f| 的積分有限。