反常多重積分（improper multiple integral）

普通的多重積分假定區域有界、被積函數也有界。反常多重積分，是當其中之一失效時你所做的：區域伸向無窮（在整個平面或整個空間上積分），或者被積函數在區域內某處爆掉（一個在某點變為無窮的密度，比如源處的 1/距離 勢）。和反常一重積分一樣，你通過取極限來馴服這個困難——在一個不斷增長或收縮的安全區域上積分，盯著那個值往哪兒走。

標準方法是窮舉法。要在一個無界區域上積分，先在一塊有界的部分上積分——一個半徑為 R 的圓盤、一個盒子、或一個止步於奇異點之前的區域——然後讓那塊膨脹到填滿整個區域（R 趨於無窮），或收攏到那個壞點。若極限存在且有限，反常積分就收斂到它。一個對多重積分特有、且令人安心的事實是：當被積函數符號單一（或絕對可積）時，極限不依賴於窮舉區域的形狀——圓盤、正方形、以及任何其他合理的膨脹族都給出同一個答案。這正是用極坐標求多維高斯積分之所以合法的原因：你可以在膨脹的圓盤上算它、並信任結果。

反常多重積分在物理和機率裡到處都是，那裡的場、勢、機率密度天然定義在整個空間上、且常在某個源處有奇點。誠實的警告是那個令人安心事實的反面：對一個變號、且非絕對可積的被積函數，答案可能依賴於你如何窮舉區域——正方形和圓盤可能給出不同的極限，正如一個條件收斂的級數可以被重排成任意和。所以反常多重積分的收斂，真正意味著絕對收斂（絕對值的積分有限）；當這一點失效時，沒有哪個單一的值配被稱作那個積分。