多維高斯積分（multidimensional Gaussian integral）

如果不是一條鐘形曲線，而是同時在許多變量上有一座光滑的概率小山——一個 n 維的高斯——會怎樣？多維高斯積分計算 e^(-(1/2) x^T A x) 在整個 n 維空間上的積分，其中 x 是 n 個變量的向量，A 是一個對稱正定矩陣，它把小山傾斜並拉伸。了不起的結果把所有這些幾何打包進一個乾淨的公式。

答案是 (2pi)^(n/2) 除以 A 的行列式的平方根——記作 sqrt((2pi)^n / det A)。推導靠對 A 對角化：對稱正定矩陣可旋轉到主軸，那裡二次型裂成若干獨立的單變量高斯之和，每個特徵值一個。積分於是分解為 n 個普通高斯積分，其乘積各攜帶一個 1/sqrt(特徵值)；把特徵值相乘就重建出 det A。旋轉的行列式為 1，所以不改變體積——這正是為何只有 A 的行列式留存下來。在指數裡加一個線性項會移動峰位，並通過配方貢獻一個因子。

這個公式是多元統計（多元正態分布的歸一化）、平衡態統計力學，尤其是量子與統計場論的基石，那裡自由（高斯）路徑積分恰是此式，其中 A 是一個微分算子、det A 是一個泛函行列式。A 正定的條件不是技術細節：若有任一特徵值非正，小山在該方向不衰減，積分發散，所以行列式公式只在每個特徵值嚴格為正時成立。