雅可比行列式（Jacobian determinant）
/ yuh-KOH-bee-uhn /
當一次坐標變換彎曲並拉伸平面時，新坐標裡一個微小的正方形並不會映成舊坐標裡同樣大小的微小正方形——它映成一個微小的傾斜平行四邊形，或大或小。雅可比行列式就是那個數，它告訴你這種扭曲在每一點處的局部面積縮放因子。在一維裡它就是導數 dx/du；在二維或更高維裡它是所有一階偏導數所成矩陣的行列式。
對一個把 (u, v) 送到 (x(u, v), y(u, v)) 的映射，雅可比矩陣是偏導數的 2 乘 2 數組 [x_u, x_v; y_u, y_v]，而雅可比行列式 J 是 x_u 乘 y_v 減去 x_v 乘 y_u。從幾何上看，這個矩陣的兩列，是 u 方向和 v 方向單位步長的像向量；它們行列式的絕對值，就是它們所張平行四邊形的面積——正是單位 uv 面積被重新縮放成 xy 面積的那個因子。三維裡它是一個 3 乘 3 的行列式，其絕對值給出體積縮放因子。J 的符號記錄映射保持還是翻轉了定向；做積分時你取它的絕對值。
雅可比是換元定理的主力：舊坐標裡的 dA 等於 J 的絕對值乘以新坐標的面積元，dV 也類似。這就是極坐標裡那個 r（J = r）、柱坐標裡那個 r（J = r）、球坐標裡那個 rho^2 sin(phi)（J = rho^2 sin(phi)）的來源。它也出現在機率裡（變換隨機變量的密度）、力學裡（更換位形變量），以及反函數定理裡——某點處雅可比不為零，就擔保了映射在那裡局部可逆。一個有用的捷徑：逆映射的雅可比是原雅可比的倒數，所以你可以算哪個方向更容易就算哪個。
對 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)：x_r = cos(theta)，x_theta = -r sin(theta)，y_r = sin(theta)，y_theta = r cos(theta)。所以 J = det[cos(theta), -r sin(theta); sin(theta), r cos(theta)] = r cos^2(theta) + r sin^2(theta) = r。
算出偏導數的 2 乘 2 行列式，從頭恢復了極坐標的面積因子 r。
留意你對哪個方向求導。積分裡的因子是舊坐標對新坐標的雅可比（例如 (x, y) 對 (r, theta)）。誤用倒數會把面積因子取反。