極坐標（polar coordinates）

極坐標不靠「往右多遠、往上多遠」來定位平面上的點，而靠它離原點多遠、朝哪個方向。一對 (r, theta) 給出離原點（極點）的距離 r，以及從正 x 軸量起的角度 theta。一個圓，在直角坐標裡寫成 x^2 + y^2 = a^2 那麼彆扭，在極坐標裡變成漂亮簡單的 r = a。對任何圓的東西，極坐標都是自然的語言。

換算是 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)，反過來 r = sqrt(x^2 + y^2)。對積分來說真正要緊的是面積元。一個由半徑 r 與 r + dr、角度 theta 與 theta + d-theta 圍成的小極坐標格子，不是邊長為 dr 和 d-theta 的矩形——它是一塊彎曲的小片，兩條弧邊長度並不相等。它的面積是 (r d-theta) 乘 dr，因為在半徑 r 處張開角度 d-theta 的弧長為 r d-theta。所以極坐標的面積元是 dA = r dr d-theta。那個額外的 r 因子——極坐標映射的雅可比——是多元微積分裡最常被忘掉的一個符號，悄悄丟掉它就會敗壞每一個答案。

極坐標把圓盤、圓環、扇形、以及具有旋轉對稱的區域，化成上下限為常數或簡單的積分。它正是你計算心形線 r = 1 + cos(theta) 的面積、圓盤上方拋物面下的體積、以及——最著名的——高斯積分的辦法：把它平方會得到整個平面上的一個二重積分，而換到極坐標使它變得平凡，因為 r dr d-theta 裡的那個 r 恰好是積 e^{-r^2} 所需要的。誠實的提醒是：極坐標並非唯一——原點同時擁有所有角度 theta（r = 0 吞掉了 theta），且給 theta 加 2pi 得到同一個點，所以粗心的設置會重複計數或漏掉一塊區域。