高斯積分（Gaussian integral）
/ GOW-see-an /
高斯積分是鐘形曲線下的總面積：e^(-x^2) dx 在整條實軸上的積分。它的值是奇妙而優美的 sqrt(pi)。奇妙，是因為函數 e^(-x^2) 出了名地沒有初等原函數——你寫不出到某有限點為止的面積公式——然而一直到無窮的總面積竟是這個含 pi 的乾淨、精確的數。
經典求法是一道幾何靈光。記積分為 I；則 I^2 是 e^(-(x^2 + y^2)) 在整個平面上的二重積分。換到極坐標，那裡 x^2 + y^2 = r^2，面積元 dx dy 變成 r dr d(theta)。出現的那個 r 恰是讓 e^(-r^2) r dr 可用普通換元積出的因子，積分塌縮為有限值 pi，於是 I = sqrt(pi)。單變量積分單獨是不可能的；把它平方、升到二維就讓它變平凡了。帶尺度因子時，e^(-a x^2) 的積分是 sqrt(pi / a)。
這一個數支撐著全部概率與統計——正態分布的歸一化正是為使其鐘形曲線面積等於 1 而構造的——它還湧入統計力學、量子場論（那裡路徑積分是無窮維高斯積分）以及誤差函數，後者正是沒有閉式的部分高斯積分。值得記住的教訓是：原函數非初等，並不意味著定積分未知；這裡一個全局對稱性就交給你一個精確值。
設 I = e^(-x^2) dx 在全體 x 上的積分。則 I^2 = e^(-(x^2+y^2)) dx dy 的二重積分 = 從 0 到 2pi、從 0 到無窮的 e^(-r^2) r dr d(theta) 積分 = 2pi * (1/2) = pi，於是 I = sqrt(pi)。
把積分平方並換到極坐標，產生讓它變初等的那個 r 因子。
精確值 sqrt(pi) 是對整條直線而言的。到某有限 x 為止的部分高斯積分沒有初等閉式——那正是（非初等的）誤差函數，所以別指望一個整齊的原函數。