伽瑪函數（gamma function）
/ GAM-uh; the symbol is the capital Greek letter Gamma /
階乘 5! = 5×4×3×2×1 只對整數有意義。伽瑪函數回答了一個自然的問題：能否畫一條光滑曲線，恰好穿過所有階乘點，從而讓我們談論 (1/2)! 甚至 (i)!？伽瑪函數記作 Gamma(x)，正是這條曲線——它把階乘延拓到實數和複數自變量，用一條連續且無窮光滑的函數穿過所有整數階乘點。
標準定義是一個積分：Gamma(x) = 從 0 到無窮對 t^{x-1} e^{-t} dt 的積分，在 x 實部為正時成立。一次分部積分就給出核心遞推式 Gamma(x+1) = x 乘 Gamma(x)，這正是 n! = n×(n-1)! 的精確類比。由於 Gamma(1) = 1，這迫使對整數 n 有 Gamma(n+1) = n!，於是該函數確實在整數處插值了階乘。著名的特殊值 Gamma(1/2) = 根號 pi（它其實是一個喬裝的高斯積分）讓它能夠到達半整數點。反向使用遞推式，可把 Gamma 解析延拓到除 0, -1, -2, ... 之外的所有複數，在這些點它有簡單極點。
伽瑪函數是應用數學中最普遍的特殊函數。它是伽瑪分布和貝塔分布機率密度的歸一化常數，決定了 n 維球的體積，出現在每一個分數階微積分公式裡，也是定義貝塔函數、誤差函數族、貝塞爾函數和超幾何函數的基石。一個常見誤解：以為 Gamma(n) 等於 n!，實際上 Gamma(n) = (n-1)!——自變量平移了一位，這一平移坑過一代又一代學生。
Gamma(5) = 從 0 到無窮對 t^4 e^{-t} dt 的積分 = 4! = 24；而 Gamma(1/2) = 根號 pi 約等於 1.772。於是 Gamma(3/2) = (1/2) 乘 Gamma(1/2) = (根號 pi)/2。
遞推式 Gamma(x+1) = x Gamma(x) 讓一個值（這裡是 Gamma(1/2)）生成整條半整數值的階梯。
當心錯位一位：Gamma(n) = (n-1)!，而不是 n!。乾淨的階乘恒等式是 Gamma(n+1) = n!。