貝塔函數（beta function）
/ BAY-tuh; the symbol is the capital Greek letter B /
許多機率與幾何問題最終都歸結為同一種形狀的積分：在區間 0 到 1 上，對 x 的某次冪乘以 (1 減 x) 的另一次冪求積分。貝塔函數恰好把這一族打包起來。B(p, q) = 從 0 到 1 對 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx 的積分——一個符號代表單位區間上那個雙參數隆起下的面積。
它的標誌性特徵是與伽瑪函數的簡潔聯繫：B(p, q) = Gamma(p) Gamma(q) / Gamma(p+q)。這條恒等式是主力工具——一旦知道伽瑪值就能立刻算出積分，反過來也把伽瑪恒等式變成貝塔恒等式。還有一個三角形式：B(p, q) = 2 乘 從 0 到 pi/2 對 (sin theta)^{2p-1} (cos theta)^{2q-1} d theta 的積分，這正是四分之一週期上的三角冪次積分得到閉式解的途徑。貝塔函數是對稱的，B(p, q) = B(q, p)，並在 p 和 q 實部都為正時收斂。
貝塔函數是貝塔機率分布的歸一化常數（在貝氏統計中作為機率的共軛先驗極為常見），它也出現在區域體積、催生了弦論的最初的 Veneziano 振幅，以及整個伽瑪與超幾何函數理論中。實用地說，每當一個定積分具有「冪乘以一減它的冪」或「四分之一圈上正弦冪次乘餘弦冪次」的形式，貝塔函數就能直接給出答案，無需再做積分。
B(2, 3) = Gamma(2) Gamma(3) / Gamma(5) = (1! 乘 2!) / 4! = 2/24 = 1/12，與直接計算的 從 0 到 1 對 x (1-x)^2 dx 的積分 = 1/12 一致。
伽瑪比值公式把一個定積分變成一行算術核對。
貝塔函數是對稱的，由伽瑪構成；它本身不是機率——貝塔分布要把 x^{p-1}(1-x)^{q-1} 除以 B(p,q) 才成為密度函數。