超幾何函數（hypergeometric function）
/ the symbol is 2-F-1 /
至此出現的許多命名函數——幾何級數、指數、對數、勒讓德與切比雪夫多項式、橢圓積分——看起來彼此無關。超幾何函數揭示它們都是同一個主級數的特例。它是一個帶參數的單一函數，通過選取參數，數學物理中相當大一部分函數都能從中落出。
高斯超幾何函數，記作 2F1(a, b; c; x)，是冪級數 1 加 (a b 除以 c) x 除以 1! 加 (a(a+1) b(b+1) 除以 c(c+1)) x^2 除以 2! 加 ...——一個相鄰係數之比是指標的簡單有理函數的冪級數。普通幾何級數 1 加 x 加 x^2 加 ... 是特例 2F1(1, 1; 1; x)；對數、反正弦、完全橢圓積分以及經典正交多項式，都是取特定參數的 2F1（或其合流極限 1F1）。該級數在 |x| 小於 1 時收斂，並通過積分表示和函數關係延拓到更遠。讓兩個參數合併便得到合流超幾何函數 1F1，它涵蓋貝塞爾、厄米和拉蓋爾諸族。
超幾何函數是偉大的統一者：它是超幾何微分方程的通解，那是一個恰有三個正則奇點的二階線性常微分方程，而幾乎每個經典特殊函數都是它的特例或極限。在應用中它在機率論中給出閉式答案（它對許多離散分布求和）、給出物理常微分方程的解析解，並用於求一族族積分。知道一個結果是超幾何的，便立刻把它接入一座龐大的恒等式庫和快速數值方法。
取 a = b = 1、c = 1：每個係數都坍縮為 1，於是 2F1(1, 1; 1; x) = 1 加 x 加 x^2 加 ... = 1 除以 (1 減 x)，即普通幾何級數——主函數最簡單的特例。
連最樸素的幾何級數也只是超幾何族參數空間中的一個點。
2F1 中的 2 和 1 數的是參數個數（上面兩個、下面一個），不是次數；只有當 a 或 b 是負整數時級數才終止為多項式，這正是它產生經典正交多項式的方式。