第一類貝塞爾函數（Bessel function of the first kind）

敲一下鼓面，或看石子落入圓形池塘後漣漪擴散，那圖樣並不是簡單的正弦波：它振盪，但振幅隨著以圓形向外擴散而衰減。第一類貝塞爾函數 J_n(x) 就是圓形與柱形幾何的標準波——當世界有一個中心而非平直網格時，正弦餘弦的徑向類比。

J_n(x) 是在中心 x = 0 處保持有界、行為良好的有限解。它可寫成冪級數：J_n(x) = 對 m 從 0 求和的 (-1)^m 除以 (m! Gamma(m+n+1)) 乘 (x/2)^{2m+n}，這已經顯示出伽瑪函數在默默起作用。對大的 x，它趨於一個衰減且有相移的餘弦：J_n(x) 約等於 根號(2 除以 pi x) 乘 cos(x 減 n pi/2 減 pi/4)，所以看起來像一列向外傳播、振幅以 1 除以 根號 x 衰減的波——恰是二維漣漪保能擴散的方式。它的零點，即 J_n 消失的那些值，並非等距，被作為基本常數列表。

第一類貝塞爾函數決定圓鼓的振動頻率、光纖或微波腔的模式、圓孔的繞射圖樣（艾里斑）、柱體中的熱流，以及調頻廣播訊號的頻率成分。在這裡它們作為有已知級數、漸近和零點的函數編目；定義它們的貝塞爾微分方程屬於級數解主題。