正弦積分與餘弦積分（sine and cosine integrals）
/ the symbols are Si (ess-eye) and Ci (see-eye) /
函數 (sin t)/t——每一個繞射圖樣和天線波瓣的核心形狀——看似溫和，卻沒有初等原函數。為處理它下方的面積，我們再次給積分命名。正弦積分 Si(x) 與餘弦積分 Ci(x) 是 (sin t)/t 和 (cos t)/t 的命名累積面積，是處理衰減緩慢的振盪訊號的主力。
定義：Si(x) = 從 0 到 x 對 (sin t)/t dt 的積分，從 0 起步、上升、振盪，並收斂到極限 Si(無窮) = pi/2。餘弦在零附近更棘手，因為 (cos t)/t 在那裡發散，所以我們從無窮向內測量：Ci(x) = 負 從 x 到無窮對 (cos t)/t dt 的積分，在原點附近表現得像 gamma_E 加 ln x（gamma_E 是歐拉-馬歇羅尼常數）。二者都是整函數、光滑、振盪，其漣漪以 1/x 衰減；對大 x 有漸近形式 Si(x) 約等於 pi/2 減 (cos x)/x、Ci(x) 約等於 (sin x)/x。
這些積分量化了帶限訊號的振鈴與過衝。吉布斯現象——截斷傅立葉級數在跳躍附近持續存在的約 9% 過衝——正是通過 Si 精確表達，其第一個極大值 Si(pi) 約等於 1.852 決定了過衝高度。Si 與 Ci 也出現在天線輻射電阻、光學繞射，以及理想濾波器的衝激響應中。它們是指數積分和對數積分的正弦表親，補全了那一族命名的振盪原函數。
Si(無窮) = pi/2 正是著名狄利克雷積分 從 0 到無窮對 (sin t)/t dt 的積分 的值。然而 Si(pi) 約等於 1.852，略高於 pi/2 約等於 1.571，刻畫了吉布斯過衝。
Si 在穩定之前先超過自己的極限，這正是截斷傅立葉級數在跳躍處過衝的原因。
Si 收斂到 pi/2，但 |(sin t)/t| 的積分發散——這種收斂是條件收斂，依賴於振盪波瓣之間的相消。