高級積分技巧
非初等積分（non-elementary integral）
每個連續函數都有原函數——這由微積分基本定理保證。但有一個獨立而出人意料的事實：原函數並不總能用我們熟悉的初等函數寫出，即冪、根、指數、對數、三角與反三角函數及它們的有限組合。非初等積分，就是其原函數可被證明落在那套工具之外的積分。標準例子看著溫和卻很著名：e^(-x^2)、(sin x)/x、e^x/x、1/ln(x) 和 sqrt(1 + cos^2 x)。
這不是聰明不夠的問題，而是一條定理。劉維爾定理，經里施算法精煉，給出了判定一個給定初等被積式是否有初等原函數的精確準則和判定程序。當答案為否時，它是一個堅硬的數學事實，而非我們技藝上的暫時空白。通常的回應是給這積分所定義的新函數命名——為 e^(-x^2) 命名誤差函數 erf，為 (sin x)/x 命名正弦積分 Si，指數積分 Ei，對數積分 li——然後像當年對數也曾是新命名的積分那樣，去精確地研究和製表。
最要緊、需內化的一點是：非初等是關於初等函數字母表的論斷，而非關於積分是否有值。定積分可以是一個完全確定的數——有時還是著名的閉式，如完整高斯積分的 sqrt(pi)——而原函數可被計算、作圖、用到任意精度。這些函數是從初等微積分通往特殊函數世界的門戶，在那裡工具箱被簡單地擴充以納入它們。
e^(-x^2) dx 的積分沒有初等形式，於是給它命名：erf(x) = (2/sqrt(pi)) 乘上 e^(-t^2) dt 從 0 到 x 的積分。同樣，(sin x)/x 定義 Si(x)，1/ln x 定義 li(x)。
我們把非初等積分變成一個全新的有名函數——erf、Si、Ei、li 正是這樣誕生的。
非初等絕不意味著無定義或不可計算。積分仍可等於一個精確的數並算到任意精度；缺的只是用初等函數表達的閉式。
又稱
另見