誤差函數（error function）
/ the symbol erf is read 'erf' /
鐘形曲線是統計學中最重要的形狀，但它一部分下方的面積無法用初等函數寫出——不存在任何多項式、指數和三角函數的有限組合，其導數等於 e^{-x^2}。於是數學家乾脆給所需的原函數起了名字。誤差函數 erf(x) 就是高斯鐘形曲線下的累積面積，經過縮放使其穩定在 1。
確切地說，erf(x) = (2 除以 根號 pi) 乘 從 0 到 x 對 e^{-t^2} dt 的積分。前置因子 2/(根號 pi) 的選取使得 erf(無窮) = 1、erf(負無窮) = -1；該函數是奇函數，erf(0) = 0，在原點附近陡升而後趨平。儘管它沒有初等閉式，卻是完全良定義、無窮可微且易於計算的——其泰勒級數為 erf(x) = (2 除以 根號 pi) 乘 (x 減 x^3/3 加 x^5/10 減 ...)，查表或內置例程可把它算到全機器精度。
誤差函數其實是喬裝的標準正態累積機率：標準正態變量落在某區間內的機率，是一個平移縮放的 erf，這正是它支配測量誤差、訊噪比計算和品質控制的原因。它還求解熱方程與擴散方程——從一個突變台階擴散出去的溫度分布，恰好是以相似變量 x 除以 根號(4 D t) 為自變量的誤差函數。說 e^{-x^2} 的積分是非初等的，並不意味著它不可計算；只是意味著我們給答案起了個名字，正如我們當年給對數起名一樣。
erf(1) 約等於 0.8427，即高斯權重 e^{-t^2} 在 (-1, 1) 上相對總量約占 84.27%。配套的恒等式 erf(無窮) = 1 不過是高斯積分 從負無窮到無窮對 e^{-t^2} dt 的積分 = 根號 pi。
erf 之所以恰好飽和到 1，正是因為完整高斯積分等於 根號 pi，而前置因子 2/(根號 pi) 把它抵消。
非初等不等於無定義或不可計算：erf 是一個完全普通的光滑函數，只是沒有任何初等函數的有限公式能表示它。