熱方程

把金屬勺的一端泡在熱茶裡，溫暖會爬上你的手指；聞香水慢慢充滿一個房間；看一滴染料在靜水中瀰散。熱方程是唯一一個囊括所有這些現象的偏微分方程——它是關於一種守恆卻自由擴散的量（如熱能或濃度）如何隨時間重新分布的定律。它是拋物型的模型方程，也是一切擴散的原型。

在一維空間裡它寫作 u_t = k u_xx，其中 u(x, t) 是溫度，下標 t 是時間導數、xx 是二階空間導數，k 是熱擴散率（恆為正）。物理可用一句話概括：某點溫度上升的速率等於一個常數乘以該點溫度分布的曲率。在分布低於周圍的地方（局部極小，正曲率）熱量流入、該點升溫；在凸出於周圍的地方（局部極大，負曲率）熱量流出、該點降溫。於是凸包衰減、凹陷填平，整個分布向平坦或穩定狀態弛豫。在更高維裡，u_xx 被換成拉普拉斯算子 nabla^2 u，給出 u_t = k nabla^2 u。

熱方程由約瑟夫·傅立葉導出——他發明傅立葉級數正是為了解它——它是熱工程的主力工具，但觸及面遠不止於此：化學擴散（菲克定律）、計算機視覺中圖像的平滑、簡單模型裡種群與疾病的傳播，以及金融中的布萊克-斯科爾斯方程，後者經過變量替換就變成熱方程。它的標誌性行為——瞬間磨平、時間之箭、極值原理——全都是那個由曲率驅動的機制的推論。