分離變量法
你究竟怎樣手工去解熱方程或波動方程？最重要的初等技巧是一個大膽的猜測：尋找能分解的解——其中對空間的依賴與對時間的依賴各自住在相乘的不同因子裡。這聽起來簡單得不可能奏效——而且它只對特殊方程奏效——但一旦奏效，它就把一個難的偏微分方程化成幾個你早已會解的常微分方程。
配方是這樣的。對一個關於 u(x, t) 的問題，猜一個乘積解 u(x, t) = X(x) T(t)。把它代入偏微分方程；對熱方程得 X T' = k X'' T，再兩邊除以 X T 得 T'/(k T) = X''/X。左邊只依賴 t，右邊只依賴 x，卻對所有 x 與 t 相等——唯一可能的情形是兩邊都等於同一個常數，即分離常數，通常寫作 -lambda。你現在有兩個常微分方程：帶空間邊界條件的 X'' + lambda X = 0，與時間上的 T' + k lambda T = 0。邊界條件把空間常微分方程變成一個本徵值問題，選出一組離散的容許 lambda_n 與本徵函數 X_n（對固定端，即正弦 sin(n pi x / L)）。每一個都與自己的 T_n 配對，又因偏微分方程線性，你把它們疊加：u = 對 c_n X_n(x) T_n(t) 求和，選取係數 c_n 以契合初始條件——這恰是一次傅立葉級數展開。
分離變量法是熱方程、波動方程與拉普拉斯方程經典解背後的引擎，也正是為什麼傅立葉級數與本徵函數展開會與偏微分方程一同講授。但要誠實面對它的適用範圍：它只在方程線性、邊界條件在與坐標對齊的區域上齊次（矩形、圓盤、球——坐標系契合邊界的幾何），且算子確實能分離時才奏效。對歪斜的區域或非線性方程，它乾脆失效，你必須轉向變換、格林函數或數值方法。
在 0 < x < L 上、兩端 u = 0、初值 u(x, 0) = f(x) 的熱方程：分離變量給出 u(x, t) = 對 b_n sin(n pi x / L) e^{-k (n pi / L)^2 t} 求和，其中 b_n 是 f 的傅立葉正弦係數。一旦把初始數據用本徵函數展開，偏微分方程就解完了。
偏微分方程化為兩個常微分方程，邊界條件化為本徵值問題，初始條件化為傅立葉展開。
分離變量法強大卻狹窄：它要求線性、齊次邊界條件，以及一個契合可分離坐標系的區域——它不是通用方法，不規則區域裡的大多數偏微分方程根本無法用它求解。