三角傅立葉級數
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撥一下吉他弦，單單一個音裡就背著一整摞泛音；對著麥克風說話，那條抖動的電壓曲線其實是許多純音疊加而成。三角傅立葉級數就是這一想法的數學版本：它斷言幾乎任何重複的信號，無論多麼參差不齊，都能用一堆普通的正弦和餘弦重新拼出來，而這些正弦餘弦的頻率都是某個基本頻率的整數倍。這是諧波分析的奠基性一步——人們發現，一個複雜的週期形狀暗地裡其實是一個和弦。
確切地說，若 f(x) 以 2L 為週期重複，它的三角傅立葉級數為 f(x) = a_0/2 + 從 n=1 到無窮對 [ a_n cos(n pi x / L) + b_n sin(n pi x / L) ] 求和。常數項 a_0/2 是信號的平均（直流）電平；每個 a_n 和 b_n 表示你要摻進多少第 n 個餘弦與正弦。單個整數 n 給諧波編號：n = 1 是基波，n = 2 是第一個泛音，依此類推。各項 cos(n pi x / L) 與 sin(n pi x / L) 都共享週期 2L，因此它們之和自動是 2L 週期的，與 f 相符。把級數取到某個 N 的部分和，就得到一個有限的三角多項式來逼近 f，只要 f 光滑，N 越大逼近越好。
這一展開是通往數學物理方法的門戶。因為正弦和餘弦正是振動的天然形狀，也是區間上二階導數算子的本徵函數，把信號寫成傅立葉級數就把關於熱傳導、波動和電信號的問題，化成對一串係數的記賬——每個諧波各自獨立地演化。一個值得提前記住的要點是：「f(x) 等於該級數」這個等號是在一種謹慎的、幾乎處處的意義下成立的；在尖角或跳變處，級數會做出某種特殊的舉動，而不是恰好在那裡跟住 f。
在 (0, pi) 上等於 +1、在 (-pi, 0) 上等於 -1 並以 2pi 為週期延拓的方波，其傅立葉級數為 (4/pi) [ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... ]——只有奇數項正弦，係數像 1/n 那樣衰減。
一個無限陡峭的方波由光滑的正弦曲線重新拼出——教科書裡的第一個例子，也是跳變處那個著名過衝的來源。
傅立葉級數需要一個週期：它只在一個週期上表示 f，然後把那幅圖永遠重複下去，所以把它用在非週期的 f 上會悄悄把它週期化，可能在區間端點處引入原本不存在的跳變。