複指數傅立葉級數
/ FOOR-ee-ay /
正弦和餘弦其實是同一個更簡單的對象的兩副面孔——複指數 e^{i theta}，由歐拉公式它以 cos theta + i sin theta 的形式旋轉。複指數傅立葉級數利用這一點，把整個展開寫成整潔的一行，而不是餘弦和正弦兩條並行的求和。可以把它看作把一個信號的諧波內容重新打包成一串複數，每個頻率一個，其中每個數的大小是該諧波的強度，它的輻角是相位。
對週期 2L，級數為 f(x) = 從 n=-無窮 到 +無窮對 c_n e^{i n pi x / L} 求和，其中複係數 c_n = (1/(2L)) 對一個週期積分 f(x) e^{-i n pi x / L} dx。現在 n 跑遍所有整數，正的和負的；負頻率並不神秘——它們恰恰是必需的，使得一個實信號的各項成對（c_{-n} 是 c_n 的複共軛），虛部相消，留下一個實數和。與實形式的聯繫是直接的：n > 0 時 c_n = (a_n - i b_n)/2，c_0 = a_0/2。現在一個係數公式幹兩個的活，因為 e^{-i n pi x / L} 把餘弦和正弦一同帶著。
這是物理學家和工程師真正用來計算的形式。它使平移、求導和卷積的代數幾乎變得平凡（求導只是把 c_n 乘以 i n pi / L），當週期無限增大時它無縫地推廣到傅立葉變換，而且它是離散與快速傅立葉變換的天然語言——後者運行在每一條數字音頻和圖像流水線內部。唯一的概念性代價是要習慣複數，以及那看起來略顯古怪的負頻率項。
對 f(x) = e^{x} 在 (-pi, pi) 上、週期 2pi：c_n = (1/(2pi)) 從 -pi 到 pi 積分 e^{x} e^{-i n x} dx = sinh(pi) / pi * (-1)^n / (1 - i n)——一個複數公式涵蓋了所有諧波，正的負的 n 一視同仁。
一個輕鬆完成的指數積分，替代了 a_n 和 b_n 的兩個實積分。
係數積分中 e^{-i n pi x / L} 裡的負號不是可有可無的：它是基函數的共軛，把它翻轉（或漏掉 1/(2L)）會悄悄破壞每個係數的相位。