複指數函數（complex exponential）
指數函數 e^x 增長；三角函數 sin 與 cos 振盪。複指數函數是唯一同時容納二者的函數，靠著踏出實軸而把它們統一起來。餵給它一個虛數，增長就化為旋轉；餵給它一個複數，便得到螺線。它大概是應用數學中最有用的函數，因為它把振盪與衰減——波、電路與振動的語言——化為簡單的代數。
其定義是用冪級數把 e^z 延拓，結果漂亮地分解：對 z = x + i y，e^z = e^x (cos y + i sin y)。實部 e^x 定下模長；虛部 y 定下幅角。其核心是歐拉公式 e^{i theta} = cos theta + i sin theta，它說幅角為 theta 的單位複數由對 i theta 取指數而得。令 theta = pi 便得那著名的 e^{i pi} + 1 = 0。複指數函數是自身的導數，從不為零，且以 2 pi i 為週期——這一事實悄然引出複對數的全部多值性。
在工程與物理中，複指數函數是一切振盪之物的主力。信號 A cos(omega t + phi) 寫作複振幅乘以 e^{i omega t} 的實部；交流電路分析中的相量就是複指數；傅立葉變換把信號分解成 e^{i omega t} 這樣的積木；阻尼波則是 e^{(-gamma + i omega) t}，一筆寫下衰減與振盪。對指數求導只是乘上一個常數，於是振子的微分方程坍縮成代數。
計算 e^{1 + i pi/2}。用 e^z = e^x (cos y + i sin y)，取 x = 1，y = pi/2：e^1 (cos(pi/2) + i sin(pi/2)) = e (0 + i) = e i。於是該點落在虛軸上、高度為 e，模長被 e^1 縮放、幅角被 pi/2 旋轉——增長乘以旋轉，正如公式所許。
實部縮放模長，虛部旋轉幅角。
與實指數不同，複指數是週期的，e^{z + 2 pi i} = e^z，故是多對一的：不同的輸入可給出相同的輸出。正是這種週期性使其逆——複對數——多值，從而需要分支切割。