阻尼諧振子（damped harmonic oscillator）

撥一根吉他弦、讓汽車在懸掛上顛一下、或讓擺在空氣中擺動，運動會振盪卻逐漸消退——能量因摩擦或阻力而流失，直到系統歸於靜止。阻尼諧振子正是捕捉所有這些現象的那一個方程，也是整個線性常微分方程理論的範例。

它的方程是 m x'' + c x' + k x = 0：質量乘加速度，加上正比於速度的阻尼力，再加上正比於位移的恢復力。特徵方程 m r^2 + c r + k = 0 按判別式區分行為，慣常用阻尼比來概括。欠阻尼（輕阻尼）給出衰減的振盪，e^(-gamma t) 乘以正弦——它會迴響並慢慢消亡。臨界阻尼是那條分界，能在不超調的情況下最快回到靜止。過阻尼（重阻尼）則緩慢回歸、毫無振盪，是兩個衰減指數之和。

這三分法是工程的家常便飯。汽車的減震器調到接近臨界阻尼，使車身迅速安定而不彈跳；閉門器則過阻尼，使門絕不甩響；鐘則故意欠阻尼，使它迴響。同一個方程，以電荷代替位移，描述 RLC 電路中的電流——電阻是阻尼，電感是慣性，電容的倒數是勁度——這正是同一套數學同時服務於機械與電學設計的原因。