特徵方程（characteristic equation）

如何解一個常係數線性常微分方程而不必胡亂猜測？你作一個有靈感的猜測——解是指數 e^(r x)——然後讓方程告訴你哪些指數 r 是允許的。把這個猜測代入，整個微分方程便坍縮成一個關於 r 的普通多項式方程。那個多項式就是特徵方程，它把微積分變成了代數。

對 a y'' + b y' + c y = 0，試探解 e^(r x) 給出 (a r^2 + b r + c) e^(r x) = 0，由於指數永不為零，便需要 a r^2 + b r + c = 0。根的三種情形產生三種解的形態：兩個相異實根 r_1、r_2 給出 c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)；一個重實根 r 給出 (c_1 + c_2 x) e^(r x)，多出的 x 提供第二個無關解；一對複根 alpha 加減 i beta 給出 e^(alpha x)(c_1 cos beta x + c_2 sin beta x)，其中虛部經歐拉公式化為振盪。

這是整個機械與電學振動領域的主力，因為那些系統恰恰是常係數線性常微分方程。根的實部符號決定系統是衰減還是發散（穩定性）；虛部設定振盪頻率。同樣的特徵多項式想法以方程組的本徵值問題之形式再現——在那裡，根是係數矩陣的本徵值。