本徵值法（eigenvalue method）
要解單個常係數方程，你猜 y = e^(r t)。要解系統 x' = A x，你作對應的猜測：x = v e^(lambda t)，一個固定方向的向量 v 騎在單一指數之上。本徵值法正是系統化地找出矩陣 A 究竟允許哪些方向、哪些增長率的方法。
把 x = v e^(lambda t) 代入 x' = A x，得 lambda v e^(lambda t) = A v e^(lambda t)，故 A v = lambda v：v 必須是 A 的本徵向量、lambda 是其本徵值。你透過解 det(A - lambda I) = 0 求本徵值，再求本徵向量。每一對本徵對給出一個解 v e^(lambda t)；把 n 個無關的疊加起來便得通解。根的三種情形對應單方程的故事：相異實本徵值給出純指數模態；複本徵值 alpha 加減 i beta 給出旋進的振盪 e^(alpha t) 乘以正弦；本徵向量過少的重本徵值則需要一個帶因子 t 的廣義本徵向量解。
本徵值法是微分方程與線性代數之間的橋樑，也是本徵值在應用科學中如此核心的原因。每個本徵值是一個固有速率；每個本徵向量是一個固有模態——一種特殊的初始狀態，整個系統在其中以單一指數演化而不改變形狀。振動的簡正模、主軸、平衡點的穩定性，都直接來自這一圖景：本徵值實部的符號決定系統是衰減歸靜、還是發散失控。
對 A = [1, 1; 4, 1]，det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 - 4 = 0 給出 lambda = 3 與 lambda = -1，本徵向量為 (1, 2) 與 (1, -2)。故 x = c_1 (1, 2) e^(3t) + c_2 (1, -2) e^(-t)。
每一對本徵對貢獻一個模態 v e^(lambda t)；把它們疊加便得通解。
重本徵值並不自動需要「t」項——僅當它「虧損」、即無關本徵向量少於其重數時才需要。若它仍提供足夠的本徵向量，普通指數模態便足夠。