線性常微分方程組（system of linear ODEs）

真實系統很少只有一個運動部件。兩個由彈簧耦合的質量、兩個相互作用的族群、多迴路電路中的電流、一連串反應化學物的濃度——每一個都不由一個方程、而由若干個必須一併求解的耦合方程所支配。線性常微分方程組正是所有這些的框架。

把未知量疊成向量 x = (x_1, ..., x_n)、把係數疊成矩陣 A，線性系統便緊湊地寫作 x' = A x（齊次）或 x' = A x + g(t)（受迫）。這種向量形式不只是記號：它揭示出單方程的整套理論以矩陣代替數字後照樣適用。解可疊加；齊次通解是 n 個無關向量解的組合；這背後有一個結構性的原因——任何高階線性常微分方程本身都可透過把每一階導數當作一個新變量而改寫成一階系統，故系統是那個統一的形式。

系統是現代動力學與控制的語言。把模型寫成 x' = A x 就把它的結構暴露給線性代數：A 的本徵值決定一切定性行為（增長、衰減、振盪、穩定性），本徵向量給出固有模態，矩陣指數 e^(At) 給出精確解。這也是每個數值常微分方程求解器所期望的形式，故把任意問題化為一階系統是計算中的標準第一步。